شاید یکی از بحث انگیز ترین مسائل در دنیای پیرامون ما تقارن باشد. آنچه که به طور عام از این مساله می دانیم آن است که در جهانی که می شناسیم می توانیم موجودات بسیاری را ببینیم که برای شکل گیری آن ها الگوی منظمی مرتباْ تکرار شده است. این مساله از ساختار اتمی جامدات گرفته تا یک خانه که در آن زندگی می کنیم بسط پیدا می کند. حتی زمان نیز از این تقارن بی نصیب نمی ماند و به راحتی می توان با تکرار یک المان از آن یک فضای وابسته به زمان پیوسته به وجود آورد. آن گونه که از بسط یک ثانیه می توان مفهوم سال یا قرن و یا ... را به وجود آورد.
حال بگذارید کمی عمیق تر فکر کنیم و این قدر ساده به بررسی موضوع نپردازیم. ممکن است بگویید در طبیعتی که می شناسیم چیزی های زیادی وجود دارد که از عدم تقارن واضحی رنج می برند. شاید با نگاه به یک کوه؛ بسیار راحت و با اطمینان بگویید که این توده ی نامنظم به هیچ وجه بویی از تقارن نبرده است. همچنین با نگاه به بسیاری از اجزا جهان پیرامون می توانید به جرات نظر دهید که جهان حول و حوش چندان هم متقارن نیست. از تغییرات بدون دلیل و ساختار در یک برگ گرفته تا ناهمواری های سطح یک کویر.
نخستین بار در سال 1694 لایپنیتز فیزیکدان ریاضی دان و فیلسوف فرانسوی که هم عصر با نیوتون بنیانگذار مکانیک کلاسیک زیست می کرد؛ این سوال عجیب را مطرح کرد که آیا می توان مشتق۲/۱ را برای تابعی محاسبه کرد؟ همان طور که می دانیم از نظر هندسی مشتق اول یک حجم نشان گر سطح و مشتق اول یک سطح نشان کرد یک خط است. یعنی مشتق گیری از یک تابع می تواند بعد تابع را یک درجه کاهش دهد. اما سوال لایپنیتز چه مفهومی می توانست داشته باشد؟ آیا لایپنیتز بعد 2/1 را می شناخت؟ محاسبه ی مشتق 2/1 یک تابع یعنی کاهیدن بعد تابع به اندازه 2/1 و این با چیزی که ما از هندسه می شناسیم غیر قابل تعریف است. ما تنها می توانیم ابعاد صحیح ان هم حداکثر تا 3 را تصور کنیم. این سوال لایپنیز از نظر ریاضیاتی همان روزها توسط خود او به جواب رسید. او توانست مشتق 2/1 یک تابع را با تعریف عملگری که به طور عام دربرگیرنده ی مفهوم مشتق بود محاسبه کند. اما مفهوم فیزیکی این پدیده تا نزدیک به 300 سال بعد ناشناخته ماند.
در حوالی سال 1984 شخصی به نام مندلبرت شروع به پرداختن مفهوم جدیدی در هندسه و پس از آن در فیزیک نمود. این مفهوم شاید ریشه در همان سوال لایپنیتز داشت. مندلبرت با تعریف موجودات جدیدی به نام فرکتال ها تحولی را در علم آغازگر شد. این مفهوم به اشکال و یا توابعی می پرداخت که دارای بعد مشابهت کسری بودند. یک شکل متقارن بودند اما نه آن تقارنی که ما تا به حال شناخته ایم. اگر برای یک خط بعد مشابهت 1 در نظر بگیریم و برای یک مربع این بعد مشابهت به 2 افزایش پیدا کند فرکتال موجودی است که بعد مشابهتی بین یک و دو و یا هر عدد غیر صحیح دیگری دارد. او هندسه ی این موجودات را فرمول بندی کرد و همچنین توانست با استفاده از توابع وایراشتراس یک تابع ریاضیاتی را نیز به این موجودات نسبت دهد. با کار وی تقارن پنهانی که در کوه ها و ابرها و زمین های پر فراز و نشیب کویر وجود داشت کشف شد. در واقع مندلبرت توانست نشان دهد که چرا طبیعت در عین بی نظمی منظم رفتار می کند.
امروزه از فرکتال ها در علوم مختلفی نظیر فیزیک، کامپیوتر، زمین شناسی، زیست شناسی، پزشکی و ... استفاده می کنند. به عنوان مثال در فیزیک برای توضیح مسائلی همچون حرکت براونی ذرات و یا مساله ی آشوب با به کارگیری توابع وایراشتراس و مفهوم گام های تصادفی از فرکتال ها استفاده می شود و یا در پزشکی برای آنالیز روی نوار مغز می توان از فرکتال ها اسفاده کرد.
در مجموع فرکتال ها با ارائه ی یک تابع دائماً پیوسته و مشتق ناپذیر در حیطه ی علوم غیرخطی مشتاقان زیادی را برای تحقیق و پژوهش به خود جلب کرده است. در کشور ما نیز پروژه های زیادی در مقاطع کارشناسی ارشد و دکتری در حیطه تعریف گردیده و می شود.